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A complex vector CC-space possesses many different hermitian isomorphisms . In quantum mechanics a given operator may be said to be -hermitian if

fricas
)set output tex off

fricas
)set output algebra on

fricas
CC:=Complex Fraction Polynomial Integer
(1)  Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
Type: Type
fricas
-- dagger
htranspose(h)==map(x+->conjugate(x),transpose h)
Type: Void
fricas
)expose MCALCFN
MultiVariableCalculusFunctions is now explicitly exposed in frame
initial

Theorem

The necessary conditions for an operator to possess hermitean isomorphism is that and .

Two-Dimensions

fricas
p1:CC:=complex(Rp1,Ip1)
(3)  Rp1 + Ip1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q1:CC:=complex(Rq1,Iq1)
(4)  Rq1 + Iq1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p2:CC:=complex(Rp2,Ip2)
(5)  Rp2 + Ip2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q2:CC:=complex(Rq2,Iq2)
(6)  Rq2 + Iq2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1],[p2,q2]]
+Rp1 + Ip1 %i  Rq1 + Iq1 %i+
(7)  |                          |
+Rp2 + Ip2 %i  Rq2 + Iq2 %i+
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))

fricas
s1:=solve(imag determinant rho,Rp2)
Ip1 Rq2 - Ip2 Rq1 + Iq2 Rp1
(8)  [Rp2= ---------------------------]
Iq1
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s2:=solve(eval(imag trace rho,s1),Ip1)
(9)  [Ip1= - Iq2]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1), s2),Rp1)
(10)  [0= 0]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
eval(eval(imag trace (rho*rho),s1),s2)
(11)  0
Type: Fraction(Polynomial(Integer))

fricas
C:=eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1),s2)
(12)
2
(Iq2 Rq1 + Iq1 Rp1 - %A Iq1)Rq2 + Ip2 Rq1  - Iq2 Rp1 Rq1 - %A Iq1 Rp1
+
2          2     2
Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1  + %A Iq1
/
Iq1
Type: Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))
fricas
C0:=zerosOf(C)
(13)
[
ROOT
2                                        2
Iq1 Rq2  + (- 4Iq2 Rq1 - 2Iq1 Rp1)Rq2 - 4Ip2 Rq1  + 4Iq2 Rp1 Rq1
+
2           2           2
Iq1 Rp1  - 4Iq1 Iq2  - 4Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Rq2 + Rp1
/
2
,
-
ROOT
2                                        2
Iq1 Rq2  + (- 4Iq2 Rq1 - 2Iq1 Rp1)Rq2 - 4Ip2 Rq1
+
2           2           2
4Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1  - 4Iq1 Iq2  - 4Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Rq2 + Rp1
/
2
]
Type: List(Expression(Complex(Integer)))
fricas
#C0
(14)  2
Type: PositiveInteger?
fricas
imag(C0.1)
(15)  0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.2)
(16)  0
Type: Expression(Integer)

fricas
rho0:=map(x+->eval(eval(x,s1),s2),rho)
+               Rp1 - %i Iq2                 Rq1 + %i Iq1+
|                                                        |
(17)  |- Iq2 Rq2 - Ip2 Rq1 + Iq2 Rp1 + %i Ip2 Iq1              |
|------------------------------------------  Rq2 + %i Iq2|
+                    Iq1                                 +
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
fricas
E:=eigenvalues(rho0)
(18)
[
%D
|
2
(Iq2 Rq1 + Iq1 Rp1 - %D Iq1)Rq2 + Ip2 Rq1  - Iq2 Rp1 Rq1 - %D Iq1 Rp1
+
2          2     2
Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1  + %D Iq1
]
Type: List(Union(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))),SuchThat?(Symbol,Polynomial(Complex(Integer)))))
fricas
E0:=eigenvector(E.1,rho0)
+      Iq1 Rq2 + %i Iq1 Iq2 - %D Iq1     +
|----------------------------------------|
(19)  [|Iq2 Rq2 + Ip2 Rq1 - Iq2 Rp1 - %i Ip2 Iq1|]
|                                        |
+                   1                    +
Type: List(Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))))
fricas
E1:=map(x+->eval(x,%D=C0.1),E0.1)
(20)
[
[
-
Iq1
*
ROOT
2                                        2
Iq1 Rq2  + (- 4Iq2 Rq1 - 2Iq1 Rp1)Rq2 - 4Ip2 Rq1
+
2           2           2
4Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1  - 4Iq1 Iq2  - 4Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Iq1 Rq2 - Iq1 Rp1 + 2%i Iq1 Iq2
/
2Iq2 Rq2 + 2Ip2 Rq1 - 2Iq2 Rp1 - 2%i Ip2 Iq1
]
,
[1]]
Type: Matrix(Expression(Complex(Integer)))
fricas
E2:=map(x+->eval(x,%D=C0.2),E0.1)
(21)
[
[
Iq1
*
ROOT
2                                        2
Iq1 Rq2  + (- 4Iq2 Rq1 - 2Iq1 Rp1)Rq2 - 4Ip2 Rq1
+
2           2           2
4Iq2 Rp1 Rq1 + Iq1 Rp1  - 4Iq1 Iq2  - 4Ip2 Iq1
/
Iq1
+
Iq1 Rq2 - Iq1 Rp1 + 2%i Iq1 Iq2
/
2Iq2 Rq2 + 2Ip2 Rq1 - 2Iq2 Rp1 - 2%i Ip2 Iq1
]
,
[1]]
Type: Matrix(Expression(Complex(Integer)))
fricas
test(rho0*E1=C0(1)*E1)
(22)  true
Type: Boolean
fricas
test(rho0*E2=C0(2)*E2)
(23)  true
Type: Boolean

Given an operator , one must find the tensor for unknown manifold of hermitian isomorphisms .

fricas
h:Matrix CC:=matrix [[Ra,complex(Rb,Ib)],[complex(Rb,-Ib),Re]]
+    Ra      Rb + Ib %i+
(24)  |                      |
+Rb - Ib %i      Re    +
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
test(h = htranspose h)
fricas
Compiling function htranspose with type Matrix(Complex(Fraction(
Polynomial(Integer)))) -> Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(
Integer))))
(25)  true
Type: Boolean
fricas
H:=htranspose(rho)*h-h*rho
(26)
[
[(- 2Ib Rp2 - 2Ip2 Rb - 2Ip1 Ra)%i,
- Rb Rq2 - Ra Rq1 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ib Iq2 + Ib Ip1
+
(- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra)%i
]
,
[
Rb Rq2 + Ra Rq1 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ib Iq2 - Ib Ip1
+
(- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re + (- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra)%i
,
(2Ib Rq1 - 2Iq2 Re - 2Iq1 Rb)%i]
]
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))

We wish to find expressions for in terms of the components of . To do this we will determine how the components of depend on the components of .

fricas
J:=jacobian(concat( map(x+->[real x, imag x], concat(H::List List ?)) ),
[Ra,Rb,Ib,Re]::List Symbol)
+  0          0            0         0   +
|                                        |
|- 2Ip1    - 2Ip2       - 2Rp2       0   |
|                                        |
|- Rq1   - Rq2 + Rp1   Iq2 + Ip1    Rp2  |
|                                        |
|- Iq1   - Iq2 - Ip1  - Rq2 + Rp1  - Ip2 |
(27)  |                                        |
| Rq1     Rq2 - Rp1   - Iq2 - Ip1  - Rp2 |
|                                        |
|- Iq1   - Iq2 - Ip1  - Rq2 + Rp1  - Ip2 |
|                                        |
|  0          0            0         0   |
|                                        |
+  0       - 2Iq1        2Rq1      - 2Iq2+
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))

The null space (kernel) of the Jacobian

fricas
N:=nullSpace(map(x+->eval(eval(x,s1),s2),J))
- Rq2 + Rp1 Rq1         Ip2   Iq2
(28)  [[-----------,---,1,0],[- ---,- ---,0,1]]
Iq1     Iq1         Iq1   Iq1
Type: List(Vector(Fraction(Polynomial(Integer))))

gives the general solution to the problem.

fricas
s4:=map((x,y)+->x=y,[Ra,Rb,Rb,Re],Ib*N.1+Re*N.2)
- Ib Rq2 + Ib Rp1 - Ip2 Re     Ib Rq1 - Iq2 Re
(29)  [Ra= --------------------------,Rb= ---------------,Rb= Ib,Re= Re]
Iq1                      Iq1
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
map(x+->eval(eval(eval(x,s1),s2),s4),H)
+0  0+
(30)  |    |
+0  0+
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))

Three-Dimensions

fricas
p1:CC:=complex(Rp1,Ip1)
(31)  Rp1 + Ip1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q1:CC:=complex(Rq1,Iq1)
(32)  Rq1 + Iq1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r1:CC:=complex(Rr1,Ir1)
(33)  Rr1 + Ir1 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p2:CC:=complex(Rp2,Ip2)
(34)  Rp2 + Ip2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q2:CC:=complex(Rq2,Iq2)
(35)  Rq2 + Iq2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r2:CC:=complex(Rr2,Ir2)
(36)  Rr2 + Ir2 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
p3:CC:=complex(Rp3,Ip3)
(37)  Rp3 + Ip3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
q3:CC:=complex(Rq3,Iq3)
(38)  Rq3 + Iq3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
r3:CC:=complex(Rr3,Ir3)
(39)  Rr3 + Ir3 %i
Type: Complex(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
rho:Matrix CC := matrix [[p1,q1,r1],[p2,q2,r2],[p3,q3,r3]]
+Rp1 + Ip1 %i  Rq1 + Iq1 %i  Rr1 + Ir1 %i+
|                                        |
(40)  |Rp2 + Ip2 %i  Rq2 + Iq2 %i  Rr2 + Ir2 %i|
|                                        |
+Rp3 + Ip3 %i  Rq3 + Iq3 %i  Rr3 + Ir3 %i+
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))

fricas
s1:=solve(imag determinant rho,Rp3)
(41)
[
Rp3 =
(- Ip1 Rq2 + Ip2 Rq1 + Iq1 Rp2 - Iq2 Rp1)Rr3
+
(Ip1 Rq3 - Ip3 Rq1 + Iq3 Rp1)Rr2 + (- Ip2 Rq3 + Ip3 Rq2 - Iq3 Rp2)Rr1
+
(- Ir1 Rp2 + Ir2 Rp1)Rq3 - Ir3 Rp1 Rq2 + Ir3 Rp2 Rq1
+
(Ip1 Iq2 - Ip2 Iq1)Ir3 + (- Ip1 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir2
+
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1
/
Iq1 Rr2 - Iq2 Rr1 - Ir1 Rq2 + Ir2 Rq1
]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s2:=solve(eval(imag trace(rho),s1),Ip1)
(42)  [Ip1= - Ir3 - Iq2]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
s3:=solve(eval(eval(imag trace(rho*rho),s1),s2),Rp1)
(43)
[
Rp1 =
Iq1 Ir3 Rr2 - Iq2 Ir3 Rr1 + Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1
+
Iq1 Ir1 Rp2
*
Rr3
+
2
Iq1 Iq3 Rr2
+
(- Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Rr1 + (- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - Iq2 Ir1)Rq3
+
(- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2 + (Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1
+
2
Iq1 Rp2
*
Rr2
+
2
- Ip3 Iq2 Rr1
+
2
(- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq3 - Iq2 Rq2 + (Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1
+
(- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2
*
Rr1
+
2         2                     2
(- Ir1 Ir2 Rq2 + Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2)Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2
+
2
((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2)Rq2 + Ip2 Ir2 Rq1
+
2
(Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2)Rp2 Rq1 - Iq2 Ir1 Ir3
+
2
(Iq3 Ir1 Ir2 + (- Iq2  - Ip2 Iq1)Ir1)Ir3 + (Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2
+
2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1
/
Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2
+
2
(- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1 - Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2
+
(Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
]
Type: List(Equation(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
eval(eval(eval(imag trace(rho*rho*rho),s1),s2),s3)
(44)  0
Type: Fraction(Polynomial(Integer))

fricas
C:=eval(eval(eval(characteristicPolynomial rho,s1),s2),s3)
(45)
2
(Iq1 Ir3 Rq2 - Iq2 Ir3 Rq1 - %E Iq1 Ir3)Rr2 + Iq2 Ir1 Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 - 2%E Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir1 Rp2 - %E Ir2 Ir3 - %E Ip2 Ir1)Rq1 - %E Iq1 Ir1 Rp2
+
3                2
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3 + (Iq2  + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
2
Rr3
+
(- Iq1 Ir3 Rq3 + Iq1 Iq3 Rq2 + (Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)
*
2
Rr2
+
Iq2 Ir3 Rq3 + (- Iq3 Ir3 + Ip3 Iq1)Rq2 - Ip3 Iq2 Rq1
+
%E Iq3 Ir3 - %E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
(- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - 2Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2 + 2%E Iq2 Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2
+
2
(2Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1 + Iq1 Rp2
+
- 2%E Iq1 Ir3 + 2%E Iq3 Ir1 - 2%E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2
Ip2 Ir3 Rq1
+
((Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)
*
Rq1
+
2
- %E Iq1 Rp2
+
2          2      2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + 2Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1  + 2%E Iq1)Ir3
+
2               2
Iq1 Iq2 Iq3 Ir2 + ((- 3Iq2  - Ip2 Iq1 - %E )Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir1
+
3           2     2
Iq1 Iq2  + (Ip2 Iq1  + %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
(- Ir2 Ir3 - Ip2 Ir1)Rq2 + Iq2 Ir1 Rp2 + %E Ir2 Ir3
+
%E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
2    2
(- 2Iq2 Ir3 - Iq2 )Rq2
+
(- Ip2 Ir3 + Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1
+
2
(- Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 + 4%E Iq2 Ir3 + 2%E Iq2
*
Rq2
+
2
((Iq2 Ir3 + Iq2 )Rp2 + %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(%E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
3                   2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - 2Iq2  + (- Ip2 Iq1 - 2%E )Iq2)Ir3
+
4                  2    2
Ip3 Iq1 Iq2 Ir2 - Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 - Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Rr1
+
2       2         2
- Ir1 Ir2 Rq2  + (Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2 + 2%E Ir1 Ir2)Rq2
+
2             2
(Ir1 Ir2 Rp2 - %E Ir2 )Rq1 + %E Ir1 Rp2
+
2                                2
(- Iq1 Ir2  - Iq2 Ir1 Ir2)Ir3 + Iq1 Iq2 Ir2
+
2               2                      2
(- 3Iq2  - Ip2 Iq1 - %E )Ir1 Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq3
+
3
- Iq2 Ir1 Rq2
+
2
((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Iq2 Ir1)Rq2
+
2
Ip2 Ir2 Rq1
+
((Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rp2 - 2%E Ir2 Ir3 - 2%E Iq2 Ir2)Rq1
+
((Iq3 Ir1 - 2Iq1 Iq2)Ir2 - Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(2Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 + Ip2 Iq3 Ir1
+
3                  2
(- Iq2  + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2
((- Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rp2 - %E Ip2 Ir2)Rq1
+
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 + %E Iq2 Ir1)Rp2
+
2        2      2
(Iq3 Ir2  + (2Iq2  + 2%E )Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
3                2
((Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 + Iq2  + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir2
+
2
%E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2                                                     2
(- Iq1 Ir2 + Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 - Iq2 Iq3 Ir1
+
2
%E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
(- %E Iq3 Ir1 Ir2 + %E Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(- 2%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 - %E Ip2 Iq3 Ir1
+
3                     3
(- %E Iq2  + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rr3
+
2       3
(- Iq1 Iq3 Rq3 + Iq3 Rq1)Rr2
+
2                          2
((Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Rq3 - Iq3 Rq2 + Ip3 Iq3 Rq1 + %E Iq3 )Rr1
+
2
(Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rq3
+
(Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rq2
+
2                                     2
(- Ir3  - 2Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 + Ip3 Ir1 - Iq2  - Ip2 Iq1)Rq1
+
2
- Iq1 Rp2 + %E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2
*
Rq3
+
((- Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)Rq2
+
2                                2
(- Ip3 Ir3 + Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Rq1  + Iq1 Iq3 Rp2 Rq1 - Iq1 Iq3 Ir3
+
2                            2                2
(Iq3 Ir1 - 3Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir3 + (2Iq2 Iq3  + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1
+
2     2                 2
(- Iq1 Iq2  + %E Iq1)Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2
*
2
Rr2
+
2
(Ip3 Iq2 Rq3 - Ip3 Iq3 Rq2 + %E Ip3 Iq3)Rr1
+
2
(Iq2 Ir2 + Ip2 Ir1)Rq3
+
2                             2
(Ir3  + 2Iq2 Ir3 - 2Iq3 Ir2 + 2Iq2 )Rq2 - Ip2 Ir3 Rq1
+
2
(Iq1 Ir3 + 2Iq1 Iq2)Rp2 - %E Ir3  - 3%E Iq2 Ir3 + 2%E Iq3 Ir2
+
2
- 2%E Iq2
*
Rq3
+
2
(Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq2
+
(Ip3 Ir3 - Ip2 Iq3 + 2Ip3 Iq2)Rq1 - Iq1 Iq3 Rp2 - %E Iq3 Ir3
+
2%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1
*
Rq2
+
(- Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rp2 - %E Ip3 Ir3 + %E Ip2 Iq3
+
- %E Ip3 Iq2
*
Rq1
+
2
%E Iq1 Iq3 Rp2 + Iq2 Iq3 Ir3
+
2                                          2
((3Iq2  - Ip2 Iq1)Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir2
+
2          3                  2                       2
Ip2 Iq3 Ir1 + (Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Iq3 + 2Ip3 Iq1 Iq2
+
2
%E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
2                    2
(Ir1 Ir2 Rq2 + Ir1 Rp2 - %E Ir1 Ir2)Rq3
+
2
Iq2 Ir1 Rq2
+
(- Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2
*
Rq2
+
((- 2Ir1 Ir3 - Iq2 Ir1)Rp2 + %E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rq1
+
2                      2                     2
Iq2 Ir1 Ir3  + (- Iq1 Iq2 Ir2 - %E Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir2
+
2                     2
(2Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2 + Ip3 Iq2 Ir1
+
3                  2
(- Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq2 Ir3 Rq1 + %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2)Rq2
+
2
- Ip2 Ir3 Rq1
+
(- Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)Rq1
+
2             3                            2
- %E Iq1 Rp2 + Iq1 Ir3  + (- Iq3 Ir1 + 2Iq1 Iq2)Ir3
+
2             2
(Iq1 Iq3 Ir2 + Ip3 Iq1 Ir1 + %E Iq1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2         2      2
- Ip3 Iq3 Ir1  + ((2Iq2  - 2%E )Iq3 + 2Ip3 Iq1 Iq2)Ir1
+
2
2%E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2                  2
(Ir3  + Iq2 Ir3)Rp2 Rq1
+
3       2   2
(%E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 - Iq2 Ir3  - 2Iq2 Ir3
+
3                        2   2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1 - Iq2  - Ip2 Iq1 Iq2)Ir3 + Iq3 Ir2
+
2                                  2     2            2
%E Iq3 Ir2 + (2Ip2 Iq2 Iq3 - 2Ip3 Iq2  - %E Ip3)Ir1 + %E Ip2 Iq1
*
Rq1
+
2   2                         2   2     2   2                 3
(Iq1 Ir3  - 2Iq1 Iq3 Ir1 Ir3 + Iq3 Ir1  + %E Iq1 )Rp2 - %E Iq1 Ir3
+
2
(%E Iq3 Ir1 - 2%E Iq1 Iq2)Ir3
+
2
- %E Iq1 Iq3 Ir2 + (%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 - 2%E Iq1 Iq2
+
2     3
- %E Ip2 Iq1  - %E Iq1
*
Ir3
+
2                                         2
(%E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2 Iq3)Ir2 + %E Ip3 Iq3 Ir1
+
2                  3                                      3
((%E Iq2  + %E Ip2 Iq1 + %E )Iq3 - %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 - %E Iq1 Iq2
+
2     3
(- %E Ip2 Iq1  - %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
2
(Ip2 Ir3 - Ip3 Ir2 + Ip2 Iq2)Rq2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rp2
+
- %E Ip2 Ir3 + %E Ip3 Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq3
+
2
- Ip3 Iq2 Rq2  + ((Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rp2 + 2%E Ip3 Iq2)Rq2
+
(- %E Iq3 Ir3 - %E Iq2 Iq3)Rp2 + Ip2 Iq2 Iq3 Ir3 - Ip3 Iq2 Iq3 Ir2
+
2             3     2
Ip2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq2  - %E Ip3 Iq2
*
2
Rr1
+
2                          2    2
(- Ir2 Rq2 - Ir1 Ir2 Rp2 + %E Ir2 )Rq3
+
2
(Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rq2
+
- Ip2 Ir2 Rq1 + (Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2)Rp2 - %E Ir2 Ir3
+
2%E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1
*
Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rp2 + %E Ip2 Ir2)Rq1
+
2
(- %E Ir1 Ir3 + %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Iq2 Ir2 Ir3
+
2
((3Iq2  + Ip2 Iq1)Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2       3                2
(- Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2  + (Iq2  + (Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
3                                                   2    2
Iq2 Ir3 Rq2  + (Ip2 Ir3 Rq1 + Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq2 Ir3 + %E Iq2 )Rq2
+
2
((- Ir3  - Iq2 Ir3)Rp2 - %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(- %E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
2
(- Iq3 Ir2 + Ip2 Iq1)Ir3
+
3
(- 2Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 - Ip2 Iq3 Ir1 + Iq2
+
2
(Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Ir3
+
2                            2   2
(- 2Iq2 Iq3 - 2Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 - 2%E Iq2
*
Rq2
+
2         2                  2
(%E Ir3  - %E Iq2 )Rp2 - Ip2 Iq2 Ir3
+
2
(- Ip2 Iq3 + Ip3 Iq2)Ir2 Ir3 + Ip3 Iq3 Ir2
+
2     2            2
(- 2Ip2 Iq2 Iq3 + 2Ip3 Iq2  + %E Ip3)Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq1
+
2                                       2
- Iq1 Iq2 Ir3  + (Iq1 Iq3 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2            2
- %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2
*
Rp2
+
2
(%E Iq3 Ir2 - %E Ip2 Iq1)Ir3
+
3     3
((3%E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1)Ir2 + %E Ip2 Iq3 Ir1 + %E Iq2  + %E Iq2)
*
Ir3
+
2                                                      4
(2%E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq2
+
3    2
(%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2
*
Rr1
+
2             3               2          2       2
(Ir1 Ir2 Ir3 - Iq1 Ir2  + 2Iq2 Ir1 Ir2  + Ip2 Ir1 Ir2)Rq3
+
2
%E Ir1 Ir2 Rq2
+
2            2                 2          2
- %E Ir2 Rq1 + %E Ir1 Rp2 - Ir1 Ir2 Ir3  + Iq1 Ir2 Ir3
+
2             2        2      2
(- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Ir2  + (- Ip3 Ir1  + (2Iq2  - 2%E )Ir1)Ir2
+
2
Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq2
+
2   2              2
- %E Ir1 Ir2 Rp2 - Ir2 Ir3  + (- 3Iq2 Ir2  - 2Ip2 Ir1 Ir2)Ir3
+
3                 2               2    2
Iq3 Ir2  + (Ip3 Ir1 - Iq2  - Ip2 Iq1 + %E )Ir2
*
Rq1
+
2   2                            2     2    2
(- Iq1 Ir2  + 2Iq1 Iq2 Ir1 Ir2 + (- Iq2  - %E )Ir1 )Rp2
+
2                                      2
%E Ir1 Ir2 Ir3  + %E Iq2 Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq3 Ir1 Ir2
+
2          2                  3
(%E Ip3 Ir1  + (%E Iq2  + %E Ip2 Iq1 + %E )Ir1)Ir2
*
Rq3
+
3
%E Iq2 Ir1 Rq2
+
2
(- %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1)Rq1 + %E Iq1 Ir1 Rp2 - Iq2 Ir1 Ir3
+
2                                       2
(Iq1 Iq2 Ir2 - Iq2 Ir1)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir1 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1
+
2
- 2%E Iq2 Ir1
*
2
Rq2
+
2
- %E Ip2 Ir2 Rq1
+
3
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Ir2 Ir3
+
2                           2
2Iq2 Ir2 Ir3  + ((Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1 + %E )Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2                                   2
Iq2 Iq3 Ir2  + ((- Ip2 Iq3 + 2Ip3 Iq2)Ir1 + 2%E Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2                                                     2
(Iq1 Ir2 - Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1
+
2
- %E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
2                               2
2%E Iq2 Ir1 Ir3  + (- %E Iq3 Ir1 Ir2 + (2%E Iq2  + %E Ip2 Iq1)Ir1)Ir3
+
2
- %E Ip3 Iq1 Ir1 Ir2 + (- %E Ip2 Iq3 + 2%E Ip3 Iq2)Ir1
+
3                   3
(%E Iq2  + (%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2          2
(%E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rp2 + Ip2 Ir2 Ir3  - Ip3 Ir2 Ir3
+
2     2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir2  + %E Ip2 Ir2
*
2
Rq1
+
2     2                      2
(- Iq1 Iq2 Ir2 + (Iq2  + %E )Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir2
+
2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2
*
Rp2
+
3                  2
- %E Ir2 Ir3  - 2%E Iq2 Ir2 Ir3
+
2                          2                  3
(- %E Iq3 Ir2  + (- %E Ip3 Ir1 - 2%E Iq2  - %E Ip2 Iq1 - %E )Ir2)Ir3
+
2
- %E Iq2 Iq3 Ir2
+
3                     3
(- %E Ip3 Iq2 Ir1 - %E Iq2  + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
*
Rq1
+
3
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3
+
2                            2          2
- Iq1 Iq3 Ir2  + (- Iq2 Iq3 Ir1 + 2Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1 )Ir2
+
3     2
(- Iq2  - %E Iq2)Ir1
*
2
Ir3
+
2                            2    2
(Iq3 Ir1 - 2Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir2
+
2                                3          2
(((- 2Ip2 Iq1 + %E )Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1 Iq2)
*
Ir2
+
4                  2    2     2
(- Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2  - %E Ip2 Iq1)Ir1
*
Ir3
+
2                            2             2       2
((Iq2 Iq3  + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 - Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir2
+
2                  2
(Ip2 Iq3  - Ip3 Iq2 Iq3)Ir1
+
3                  2                       2     2
((Iq2  + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Iq3 + 2Ip3 Iq1 Iq2  + %E Ip3 Iq1)Ir1
*
Ir2
+
2     2                 3     2           2
((Ip2 Iq2  + %E Ip2)Iq3 - Ip3 Iq2  - %E Ip3 Iq2)Ir1
/
2
Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1
+
- Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
Type: Fraction(Polynomial(Complex(Integer)))
fricas
factor C
(46)
2
(Iq1 Ir3 Rq2 - Iq2 Ir3 Rq1 - %E Iq1 Ir3)Rr2 + Iq2 Ir1 Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 - 2%E Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir1 Rp2 - %E Ir2 Ir3 - %E Ip2 Ir1)Rq1 - %E Iq1 Ir1 Rp2
+
3                2
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3 + (Iq2  + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
2
Rr3
+
(- Iq1 Ir3 Rq3 + Iq1 Iq3 Rq2 + (Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)
*
2
Rr2
+
Iq2 Ir3 Rq3 + (- Iq3 Ir3 + Ip3 Iq1)Rq2 - Ip3 Iq2 Rq1
+
%E Iq3 Ir3 - %E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
(- Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 - 2Iq2 Ir1)Rq2
+
(- Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2 + 2%E Iq2 Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rq2
+
2
(2Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 - Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1)Rq1 + Iq1 Rp2
+
- 2%E Iq1 Ir3 + 2%E Iq3 Ir1 - 2%E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2
Ip2 Ir3 Rq1
+
((Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)
*
Rq1
+
2
- %E Iq1 Rp2
+
2          2      2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + 2Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1  + 2%E Iq1)Ir3
+
2               2
Iq1 Iq2 Iq3 Ir2 + ((- 3Iq2  - Ip2 Iq1 - %E )Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir1
+
3           2     2
Iq1 Iq2  + (Ip2 Iq1  + %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
(- Ir2 Ir3 - Ip2 Ir1)Rq2 + Iq2 Ir1 Rp2 + %E Ir2 Ir3
+
%E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
2    2
(- 2Iq2 Ir3 - Iq2 )Rq2
+
(- Ip2 Ir3 + Ip3 Ir2 - Ip2 Iq2)Rq1
+
2
(- Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rp2 + 4%E Iq2 Ir3 + 2%E Iq2
*
Rq2
+
2
((Iq2 Ir3 + Iq2 )Rp2 + %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(%E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
3                   2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - 2Iq2  + (- Ip2 Iq1 - 2%E )Iq2)Ir3
+
4                  2    2
Ip3 Iq1 Iq2 Ir2 - Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 - Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Rr1
+
2       2         2
- Ir1 Ir2 Rq2  + (Ir2 Rq1 - Ir1 Rp2 + 2%E Ir1 Ir2)Rq2
+
2             2
(Ir1 Ir2 Rp2 - %E Ir2 )Rq1 + %E Ir1 Rp2
+
2                                2
(- Iq1 Ir2  - Iq2 Ir1 Ir2)Ir3 + Iq1 Iq2 Ir2
+
2               2                      2
(- 3Iq2  - Ip2 Iq1 - %E )Ir1 Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq3
+
3
- Iq2 Ir1 Rq2
+
2
((Iq2 Ir2 - Ip2 Ir1)Rq1 - Iq1 Ir1 Rp2 + %E Iq2 Ir1)Rq2
+
2
Ip2 Ir2 Rq1
+
((Ir1 Ir3 + Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rp2 - 2%E Ir2 Ir3 - 2%E Iq2 Ir2)Rq1
+
((Iq3 Ir1 - 2Iq1 Iq2)Ir2 - Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(2Iq2 Iq3 + Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 + Ip2 Iq3 Ir1
+
3                  2
(- Iq2  + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2
((- Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rp2 - %E Ip2 Ir2)Rq1
+
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 + %E Iq2 Ir1)Rp2
+
2        2      2
(Iq3 Ir2  + (2Iq2  + 2%E )Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
3                2
((Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir1 + Iq2  + (Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir2
+
2
%E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2                                                     2
(- Iq1 Ir2 + Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 - Iq2 Iq3 Ir1
+
2
%E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
(- %E Iq3 Ir1 Ir2 + %E Ip2 Iq1 Ir1)Ir3
+
2
(- 2%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 Ir2 - %E Ip2 Iq3 Ir1
+
3                     3
(- %E Iq2  + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rr3
+
2       3
(- Iq1 Iq3 Rq3 + Iq3 Rq1)Rr2
+
2                          2
((Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Rq3 - Iq3 Rq2 + Ip3 Iq3 Rq1 + %E Iq3 )Rr1
+
2
(Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2 + Iq2 Ir1)Rq3
+
(Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Rq2
+
2                                     2
(- Ir3  - 2Iq2 Ir3 + Iq3 Ir2 + Ip3 Ir1 - Iq2  - Ip2 Iq1)Rq1
+
2
- Iq1 Rp2 + %E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2
*
Rq3
+
((- Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rq1 - %E Iq1 Iq3)Rq2
+
2                                2
(- Ip3 Ir3 + Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Rq1  + Iq1 Iq3 Rp2 Rq1 - Iq1 Iq3 Ir3
+
2                            2                2
(Iq3 Ir1 - 3Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir3 + (2Iq2 Iq3  + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1
+
2     2                 2
(- Iq1 Iq2  + %E Iq1)Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2
*
2
Rr2
+
2
(Ip3 Iq2 Rq3 - Ip3 Iq3 Rq2 + %E Ip3 Iq3)Rr1
+
2
(Iq2 Ir2 + Ip2 Ir1)Rq3
+
2                             2
(Ir3  + 2Iq2 Ir3 - 2Iq3 Ir2 + 2Iq2 )Rq2 - Ip2 Ir3 Rq1
+
2
(Iq1 Ir3 + 2Iq1 Iq2)Rp2 - %E Ir3  - 3%E Iq2 Ir3 + 2%E Iq3 Ir2
+
2
- 2%E Iq2
*
Rq3
+
2
(Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rq2
+
(Ip3 Ir3 - Ip2 Iq3 + 2Ip3 Iq2)Rq1 - Iq1 Iq3 Rp2 - %E Iq3 Ir3
+
2%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1
*
Rq2
+
(- Iq3 Ir3 - Iq2 Iq3)Rp2 - %E Ip3 Ir3 + %E Ip2 Iq3
+
- %E Ip3 Iq2
*
Rq1
+
2
%E Iq1 Iq3 Rp2 + Iq2 Iq3 Ir3
+
2                                          2
((3Iq2  - Ip2 Iq1)Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir2
+
2          3                  2                       2
Ip2 Iq3 Ir1 + (Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Iq3 + 2Ip3 Iq1 Iq2
+
2
%E Ip3 Iq1
*
Rr1
+
2                    2
(Ir1 Ir2 Rq2 + Ir1 Rp2 - %E Ir1 Ir2)Rq3
+
2
Iq2 Ir1 Rq2
+
(- Ir2 Ir3 + Ip2 Ir1)Rq1 + Iq1 Ir1 Rp2 + %E Ir1 Ir3
+
- %E Iq1 Ir2
*
Rq2
+
((- 2Ir1 Ir3 - Iq2 Ir1)Rp2 + %E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rq1
+
2                      2                     2
Iq2 Ir1 Ir3  + (- Iq1 Iq2 Ir2 - %E Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir2
+
2                     2
(2Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2 + Ip3 Iq2 Ir1
+
3                  2
(- Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir1
*
Rq3
+
2
(- Iq2 Ir3 Rq1 + %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2)Rq2
+
2
- Ip2 Ir3 Rq1
+
(- Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq3 Ir2 + %E Ip3 Ir1 - %E Ip2 Iq1)Rq1
+
2             3                            2
- %E Iq1 Rp2 + Iq1 Ir3  + (- Iq3 Ir1 + 2Iq1 Iq2)Ir3
+
2             2
(Iq1 Iq3 Ir2 + Ip3 Iq1 Ir1 + %E Iq1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2         2      2
- Ip3 Iq3 Ir1  + ((2Iq2  - 2%E )Iq3 + 2Ip3 Iq1 Iq2)Ir1
+
2
2%E Iq1 Iq2
*
Rq2
+
2                  2
(Ir3  + Iq2 Ir3)Rp2 Rq1
+
3       2   2
(%E Iq1 Ir3 - %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2 - Iq2 Ir3  - 2Iq2 Ir3
+
3                        2   2
(- Iq2 Iq3 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1 - Iq2  - Ip2 Iq1 Iq2)Ir3 + Iq3 Ir2
+
2                                  2     2            2
%E Iq3 Ir2 + (2Ip2 Iq2 Iq3 - 2Ip3 Iq2  - %E Ip3)Ir1 + %E Ip2 Iq1
*
Rq1
+
2   2                         2   2     2   2                 3
(Iq1 Ir3  - 2Iq1 Iq3 Ir1 Ir3 + Iq3 Ir1  + %E Iq1 )Rp2 - %E Iq1 Ir3
+
2
(%E Iq3 Ir1 - 2%E Iq1 Iq2)Ir3
+
2
- %E Iq1 Iq3 Ir2 + (%E Iq2 Iq3 - %E Ip3 Iq1)Ir1 - 2%E Iq1 Iq2
+
2     3
- %E Ip2 Iq1  - %E Iq1
*
Ir3
+
2                                         2
(%E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2 Iq3)Ir2 + %E Ip3 Iq3 Ir1
+
2                  3                                      3
((%E Iq2  + %E Ip2 Iq1 + %E )Iq3 - %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 - %E Iq1 Iq2
+
2     3
(- %E Ip2 Iq1  - %E Iq1)Iq2
*
Rr2
+
2
(Ip2 Ir3 - Ip3 Ir2 + Ip2 Iq2)Rq2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rp2
+
- %E Ip2 Ir3 + %E Ip3 Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq3
+
2
- Ip3 Iq2 Rq2  + ((Iq3 Ir3 + Iq2 Iq3)Rp2 + 2%E Ip3 Iq2)Rq2
+
(- %E Iq3 Ir3 - %E Iq2 Iq3)Rp2 + Ip2 Iq2 Iq3 Ir3 - Ip3 Iq2 Iq3 Ir2
+
2             3     2
Ip2 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq2  - %E Ip3 Iq2
*
2
Rr1
+
2                          2    2
(- Ir2 Rq2 - Ir1 Ir2 Rp2 + %E Ir2 )Rq3
+
2
(Ir2 Ir3 - Iq2 Ir2)Rq2
+
- Ip2 Ir2 Rq1 + (Ir1 Ir3 - Iq1 Ir2)Rp2 - %E Ir2 Ir3
+
2%E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1
*
Rq2
+
((Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rp2 + %E Ip2 Ir2)Rq1
+
2
(- %E Ir1 Ir3 + %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Iq2 Ir2 Ir3
+
2
((3Iq2  + Ip2 Iq1)Ir2 + Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2       3                2
(- Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2  + (Iq2  + (Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq3
+
3                                                   2    2
Iq2 Ir3 Rq2  + (Ip2 Ir3 Rq1 + Iq1 Ir3 Rp2 - %E Iq2 Ir3 + %E Iq2 )Rq2
+
2
((- Ir3  - Iq2 Ir3)Rp2 - %E Ip2 Ir3 - %E Ip3 Ir2 + %E Ip2 Iq2)Rq1
+
(- %E Iq1 Ir3 + %E Iq3 Ir1 + %E Iq1 Iq2)Rp2
+
2
(- Iq3 Ir2 + Ip2 Iq1)Ir3
+
3
(- 2Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1)Ir2 - Ip2 Iq3 Ir1 + Iq2
+
2
(Ip2 Iq1 - %E )Iq2
*
Ir3
+
2                            2   2
(- 2Iq2 Iq3 - 2Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 - 2%E Iq2
*
Rq2
+
2         2                  2
(%E Ir3  - %E Iq2 )Rp2 - Ip2 Iq2 Ir3
+
2
(- Ip2 Iq3 + Ip3 Iq2)Ir2 Ir3 + Ip3 Iq3 Ir2
+
2     2            2
(- 2Ip2 Iq2 Iq3 + 2Ip3 Iq2  + %E Ip3)Ir2 - %E Ip2 Iq2
*
Rq1
+
2                                       2
- Iq1 Iq2 Ir3  + (Iq1 Iq3 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1)Ir3 - Iq3 Ir1 Ir2
+
2            2
- %E Iq3 Ir1 - %E Iq1 Iq2
*
Rp2
+
2
(%E Iq3 Ir2 - %E Ip2 Iq1)Ir3
+
3     3
((3%E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1)Ir2 + %E Ip2 Iq3 Ir1 + %E Iq2  + %E Iq2)
*
Ir3
+
2                                                      4
(2%E Iq2 Iq3 + %E Ip3 Iq1 Iq2)Ir2 + %E Ip2 Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq2
+
3    2
(%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2
*
Rr1
+
2             3               2          2       2
(Ir1 Ir2 Ir3 - Iq1 Ir2  + 2Iq2 Ir1 Ir2  + Ip2 Ir1 Ir2)Rq3
+
2
%E Ir1 Ir2 Rq2
+
2            2                 2          2
- %E Ir2 Rq1 + %E Ir1 Rp2 - Ir1 Ir2 Ir3  + Iq1 Ir2 Ir3
+
2             2        2      2
(- Iq3 Ir1 - Iq1 Iq2)Ir2  + (- Ip3 Ir1  + (2Iq2  - 2%E )Ir1)Ir2
+
2
Ip2 Iq2 Ir1
*
Rq2
+
2   2              2
- %E Ir1 Ir2 Rp2 - Ir2 Ir3  + (- 3Iq2 Ir2  - 2Ip2 Ir1 Ir2)Ir3
+
3                 2               2    2
Iq3 Ir2  + (Ip3 Ir1 - Iq2  - Ip2 Iq1 + %E )Ir2
*
Rq1
+
2   2                            2     2    2
(- Iq1 Ir2  + 2Iq1 Iq2 Ir1 Ir2 + (- Iq2  - %E )Ir1 )Rp2
+
2                                      2
%E Ir1 Ir2 Ir3  + %E Iq2 Ir1 Ir2 Ir3 + %E Iq3 Ir1 Ir2
+
2          2                  3
(%E Ip3 Ir1  + (%E Iq2  + %E Ip2 Iq1 + %E )Ir1)Ir2
*
Rq3
+
3
%E Iq2 Ir1 Rq2
+
2
(- %E Iq2 Ir2 + %E Ip2 Ir1)Rq1 + %E Iq1 Ir1 Rp2 - Iq2 Ir1 Ir3
+
2                                       2
(Iq1 Iq2 Ir2 - Iq2 Ir1)Ir3 - Iq2 Iq3 Ir1 Ir2 - Ip3 Iq2 Ir1
+
2
- 2%E Iq2 Ir1
*
2
Rq2
+
2
- %E Ip2 Ir2 Rq1
+
3
(- %E Ir1 Ir3 - %E Iq1 Ir2 - %E Iq2 Ir1)Rp2 + Ir2 Ir3
+
2                           2
2Iq2 Ir2 Ir3  + ((Ip3 Ir1 + Ip2 Iq1 + %E )Ir2 - Ip2 Iq2 Ir1)Ir3
+
2                                   2
Iq2 Iq3 Ir2  + ((- Ip2 Iq3 + 2Ip3 Iq2)Ir1 + 2%E Iq2)Ir2
+
2
- %E Ip2 Ir1
*
Rq1
+
2                                                     2
(Iq1 Ir2 - Iq1 Iq2 Ir1)Ir3 - Iq1 Iq3 Ir1 Ir2 + Iq2 Iq3 Ir1
+
2
- %E Iq1 Ir1
*
Rp2
+
2                               2
2%E Iq2 Ir1 Ir3  + (- %E Iq3 Ir1 Ir2 + (2%E Iq2  + %E Ip2 Iq1)Ir1)Ir3
+
2
- %E Ip3 Iq1 Ir1 Ir2 + (- %E Ip2 Iq3 + 2%E Ip3 Iq2)Ir1
+
3                   3
(%E Iq2  + (%E Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Ir1
*
Rq2
+
2          2
(%E Ir2 Ir3 + %E Iq2 Ir2)Rp2 + Ip2 Ir2 Ir3  - Ip3 Ir2 Ir3
+
2     2
(Ip2 Iq3 - Ip3 Iq2)Ir2  + %E Ip2 Ir2
*
2
Rq1
+
2     2                      2
(- Iq1 Iq2 Ir2 + (Iq2  + %E )Ir1)Ir3 + Iq1 Iq3 Ir2
+
2
(- Iq2 Iq3 Ir1 + %E Iq1)Ir2
*
Rp2
+
3                  2
- %E Ir2 Ir3  - 2%E Iq2 Ir2 Ir3
+
2                          2                  3
(- %E Iq3 Ir2  + (- %E Ip3 Ir1 - 2%E Iq2  - %E Ip2 Iq1 - %E )Ir2)Ir3
+
2
- %E Iq2 Iq3 Ir2
+
3                     3
(- %E Ip3 Iq2 Ir1 - %E Iq2  + (- %E Ip2 Iq1 - %E )Iq2)Ir2
*
Rq1
+
3
Iq1 Iq2 Ir2 Ir3
+
2                            2          2
- Iq1 Iq3 Ir2  + (- Iq2 Iq3 Ir1 + 2Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1 )Ir2
+
3     2
(- Iq2  - %E Iq2)Ir1
*
2
Ir3
+
2                            2    2
(Iq3 Ir1 - 2Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 )Ir2
+
2                                3          2
(((- 2Ip2 Iq1 + %E )Iq3 + Ip3 Iq1 Iq2)Ir1 + Iq1 Iq2  + Ip2 Iq1 Iq2)
*
Ir2
+
4                  2    2     2
(- Iq2  + (- Ip2 Iq1 - %E )Iq2  - %E Ip2 Iq1)Ir1
*
Ir3
+
2                            2             2       2
((Iq2 Iq3  + Ip3 Iq1 Iq3)Ir1 - Iq1 Iq2 Iq3 - Ip3 Iq1 Iq2)Ir2
+
2                  2
(Ip2 Iq3  - Ip3 Iq2 Iq3)Ir1
+
3                  2                       2     2
((Iq2  + (- Ip2 Iq1 + %E )Iq2)Iq3 + 2Ip3 Iq1 Iq2  + %E Ip3 Iq1)Ir1
*
Ir2
+
2     2                 3     2           2
((Ip2 Iq2  + %E Ip2)Iq3 - Ip3 Iq2  - %E Ip3 Iq2)Ir1
/
2
Iq2 Ir1 Rr3 + (Iq1 Ir3 - Iq3 Ir1 + Iq1 Iq2)Rr2 + (- Iq2 Ir3 - Iq2 )Rr1
+
- Ir1 Ir2 Rq3 - Iq2 Ir1 Rq2 + (Ir2 Ir3 + Iq2 Ir2)Rq1
Type: Factored(Fraction(Polynomial(Complex(Integer))))
fricas
C0:=zerosOf(C);
Type: List(Expression(Complex(Integer)))
fricas
#C0
(48)  3
Type: PositiveInteger?
fricas
imag(C0.1)
(49)  0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.2)
(50)  0
Type: Expression(Integer)
fricas
imag(C0.3)
(51)  0
Type: Expression(Integer)

Given an operator , one must find the tensor for unknown manifold of hermitian isomorphisms .

fricas
h:Matrix CC:=matrix [[Ra,             complex(Rb,Ib), complex(Rc,Ic)], _
[complex(Rb,-Ib),Re,             complex(Rd,Id)], _
[complex(Rc,-Ic),complex(Rd,-Id),Rf            ]]
+    Ra      Rb + Ib %i  Rc + Ic %i+
|                                  |
(52)  |Rb - Ib %i      Re      Rd + Id %i|
|                                  |
+Rc - Ic %i  Rd - Id %i      Rf    +
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))
fricas
test(h = htranspose h)
(53)  true
Type: Boolean
fricas
H:=htranspose(rho)*h-h*rho
(54)
[
[(- 2Ic Rp3 - 2Ib Rp2 - 2Ip3 Rc - 2Ip2 Rb - 2Ip1 Ra)%i,
- Rc Rq3 - Rb Rq2 - Ra Rq1 + Rd Rp3 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ic Iq3 + Ib Iq2
+
- Id Ip3 + Ib Ip1
+
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
*
%i
,
- Rc Rr3 - Rb Rr2 - Ra Rr1 + Rf Rp3 + Rd Rp2 + Rc Rp1 + Ic Ir3 + Ib Ir2
+
Id Ip2 + Ic Ip1
+
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd
+
(- Ir3 - Ip1)Rc - Ir2 Rb - Ir1 Ra
*
%i
]
,
[
Rc Rq3 + Rb Rq2 + Ra Rq1 - Rd Rp3 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ic Iq3 - Ib Iq2
+
Id Ip3 - Ib Ip1
+
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
*
%i
,
(- 2Id Rq3 + 2Ib Rq1 - 2Iq2 Re - 2Iq3 Rd - 2Iq1 Rb)%i,
- Rd Rr3 - Re Rr2 - Rb Rr1 + Rf Rq3 + Rd Rq2 + Rc Rq1 + Id Ir3 - Ib Ir1
+
Id Iq2 + Ic Iq1
+
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re
+
(- Ir3 - Iq2)Rd - Iq1 Rc - Ir1 Rb
*
%i
]
,
[
Rc Rr3 + Rb Rr2 + Ra Rr1 - Rf Rp3 - Rd Rp2 - Rc Rp1 - Ic Ir3 - Ib Ir2
+
- Id Ip2 - Ic Ip1
+
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd
+
(- Ir3 - Ip1)Rc - Ir2 Rb - Ir1 Ra
*
%i
,
Rd Rr3 + Re Rr2 + Rb Rr1 - Rf Rq3 - Rd Rq2 - Rc Rq1 - Id Ir3 + Ib Ir1
+
- Id Iq2 - Ic Iq1
+
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re
+
(- Ir3 - Iq2)Rd - Iq1 Rc - Ir1 Rb
*
%i
,
(2Id Rr2 + 2Ic Rr1 - 2Ir3 Rf - 2Ir2 Rd - 2Ir1 Rc)%i]
]
Type: Matrix(Complex(Fraction(Polynomial(Integer))))

We wish to find expressions for in terms of the components of . To do this we will determine how the components of depend on the components of .

fricas
K:=concat( map(x+->[real x, imag x], concat(H::List List ?)))::List Polynomial Integer
(55)
[0, - 2Ic Rp3 - 2Ib Rp2 - 2Ip3 Rc - 2Ip2 Rb - 2Ip1 Ra,
- Rc Rq3 - Rb Rq2 - Ra Rq1 + Rd Rp3 + Re Rp2 + Rb Rp1 + Ic Iq3 + Ib Iq2
+
- Id Ip3 + Ib Ip1
,
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
,
- Rc Rr3 - Rb Rr2 - Ra Rr1 + Rf Rp3 + Rd Rp2 + Rc Rp1 + Ic Ir3 + Ib Ir2
+
Id Ip2 + Ic Ip1
,
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc
+
- Ir2 Rb - Ir1 Ra
,
Rc Rq3 + Rb Rq2 + Ra Rq1 - Rd Rp3 - Re Rp2 - Rb Rp1 - Ic Iq3 - Ib Iq2
+
Id Ip3 - Ib Ip1
,
- Ic Rq3 - Ib Rq2 - Id Rp3 + Ib Rp1 - Ip2 Re - Ip3 Rd - Iq3 Rc
+
(- Iq2 - Ip1)Rb - Iq1 Ra
,
0, - 2Id Rq3 + 2Ib Rq1 - 2Iq2 Re - 2Iq3 Rd - 2Iq1 Rb,
- Rd Rr3 - Re Rr2 - Rb Rr1 + Rf Rq3 + Rd Rq2 + Rc Rq1 + Id Ir3 - Ib Ir1
+
Id Iq2 + Ic Iq1
,
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd
+
- Iq1 Rc - Ir1 Rb
,
Rc Rr3 + Rb Rr2 + Ra Rr1 - Rf Rp3 - Rd Rp2 - Rc Rp1 - Ic Ir3 - Ib Ir2
+
- Id Ip2 - Ic Ip1
,
- Ic Rr3 - Ib Rr2 + Id Rp2 + Ic Rp1 - Ip3 Rf - Ip2 Rd + (- Ir3 - Ip1)Rc
+
- Ir2 Rb - Ir1 Ra
,
Rd Rr3 + Re Rr2 + Rb Rr1 - Rf Rq3 - Rd Rq2 - Rc Rq1 - Id Ir3 + Ib Ir1
+
- Id Iq2 - Ic Iq1
,
- Id Rr3 + Ib Rr1 + Id Rq2 + Ic Rq1 - Iq3 Rf - Ir2 Re + (- Ir3 - Iq2)Rd
+
- Iq1 Rc - Ir1 Rb
,
0, 2Id Rr2 + 2Ic Rr1 - 2Ir3 Rf - 2Ir2 Rd - 2Ir1 Rc]
Type: List(Polynomial(Integer))
fricas
--K2:=groebner(K)
J:=jacobian(select(x+->x~=0,K), [Ra,Rb,Ib,Rc,Ic,Rd,Id,Re,Rf]::List Symbol)
(56)
[[- 2Ip1,- 2Ip2,- 2Rp2,- 2Ip3,- 2Rp3,0,0,0,0],
[- Rq1,- Rq2 + Rp1,Iq2 + Ip1,- Rq3,Iq3,Rp3,- Ip3,Rp2,0],
[- Iq1,- Iq2 - Ip1,- Rq2 + Rp1,- Iq3,- Rq3,- Ip3,- Rp3,- Ip2,0],
[- Rr1,- Rr2,Ir2,- Rr3 + Rp1,Ir3 + Ip1,Rp2,Ip2,0,Rp3],
[- Ir1,- Ir2,- Rr2,- Ir3 - Ip1,- Rr3 + Rp1,- Ip2,Rp2,0,- Ip3],
[Rq1,Rq2 - Rp1,- Iq2 - Ip1,Rq3,- Iq3,- Rp3,Ip3,- Rp2,0],
[- Iq1,- Iq2 - Ip1,- Rq2 + Rp1,- Iq3,- Rq3,- Ip3,- Rp3,- Ip2,0],
[0,- 2Iq1,2Rq1,0,0,- 2Iq3,- 2Rq3,- 2Iq2,0],
[0,- Rr1,- Ir1,Rq1,Iq1,- Rr3 + Rq2,Ir3 + Iq2,- Rr2,Rq3],
[0,- Ir1,Rr1,- Iq1,Rq1,- Ir3 - Iq2,- Rr3 + Rq2,- Ir2,- Iq3],
[Rr1,Rr2,- Ir2,Rr3 - Rp1,- Ir3 - Ip1,- Rp2,- Ip2,0,- Rp3],
[- Ir1,- Ir2,- Rr2,- Ir3 - Ip1,- Rr3 + Rp1,- Ip2,Rp2,0,- Ip3],
[0,Rr1,Ir1,- Rq1,- Iq1,Rr3 - Rq2,- Ir3 - Iq2,Rr2,- Rq3],
[0,- Ir1,Rr1,- Iq1,Rq1,- Ir3 - Iq2,- Rr3 + Rq2,- Ir2,- Iq3],
[0,0,0,- 2Ir1,2Rr1,- 2Ir2,2Rr2,0,- 2Ir3]]
Type: Matrix(Polynomial(Integer))

The null space (kernel) of the Jacobian

fricas
J2:=map(x+->eval(eval(eval(x,s1),s2),s3),J);
Type: Matrix(Fraction(Polynomial(Integer)))
fricas
nrows(J2),ncols(J2)
(58)  [15,9]
Type: Tuple(PositiveInteger?)
fricas
binomial(nrows(J2),ncols(J2))
(59)  5005
Type: PositiveInteger?

Eigenvectors and Diagonalization --Bill Page, Sun, 03 Jul 2011 17:35:35 -0700 reply
SandBoxHermitianIsomorphisms4

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